如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图象与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为（

Question

如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图象与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图象上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为（　　）

A. 2

B. 4sin40°

C. 2

√(3)

D. 4sin20°（1+cos20°+sin20°cos20°）

Answer 1

如图所示，直线OC、y轴关于直线y=kx对称，直线OD、直线y=kx关于y轴对称，点A′是点A关于直线y=kx的对称点．
作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y=kx于M，作PN⊥直线y=kx垂足为N，
∵PN=PE，AM=A′M，
∴AM+PM+PN=A′M+PM+PE=A′E最小（垂线段最短），
在RT△A′EO中，∵∠A′EO=90°，OA′=4，∠A′OE=3∠AOM=60°，
∴OE=(1)/(2)OA′=2，A′E=√(OA′2-OE2)=√(42-22)=2√(3)．
∴AM+MP+PN的最小值为2√(3)．
故选A．