已知,以点C（t,t分之2）（t€R,t不等于0）为圆心的圆与X轴交于点O、A,与Y轴交于点O、B,其中O为原点．（原题没有图）（1）求证：三角形：OAB的面积为定值；（2）设直线Y=-2X+4与圆C交于点M

Question

已知,以点C（t,t分之2）（t€R,t不等于0）为圆心的圆与X轴交于点O、A,与Y轴交于点O、B
,其中O为原点．（原题没有图）
（1）求证：三角形：OAB的面积为定值；
（2）设直线Y=-2X+4与圆C交于点M、N,若OM=ON,求圆C的方程

Answer 1

（1）
∵圆C过原点O,∴OC²=t²+ 4/t²,
则圆C的方程为 (x-t)²+(y-2/t)²=t²+4/t²
令x=0,得y=0,或y= 4/t
令y=0,得x=0,或x=2t
所以,A点坐标为（2t,0）,B点坐标为（0,4/t）,
∴S△OAB= OA×OB×1/2= |4/t|×|2t|×1/2=4
即,△OAB的面积为定值4
（2）
∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|
∴OC垂直平分线段MN．
∵直线y的斜率=线段MN的斜率=-2
∴线段OC所在直线的斜率= 1/2
∵点C坐标为（t,2/t）
∴ (2/t)/t=1/2,即 t²=4
解得 t=2,或t=-2
当t=2时,
圆心C的坐标为（2,1）,半径OC=√5
此时圆心到直线y=-2x+4的距离
d=|-4-1+4|/ √5=(√5)/5＜√5
即,圆C与直线y=-2x+4相交于两点．符合题意
当t=-2时,
圆心C的坐标为（-2,-1）,半径OC=√5
此时圆心到直线y=-2x+4的距离
d=|4+1+4|/√5=(9√5)/5＞√5
即,圆C与直线y=-2x+4不相交
∴ t=-2不合题意,舍去．
∴ 圆C的方程为(x-2)²+(y-1)²=5