如图，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足a2+b2-12a-12b+72=0，OC：OA=1：3．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F

Question

如图，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足a²+b²-12a-12b+72=0，OC：OA=1：3．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为x_E、x_F，当BD平分△BEF的面积时，求x_E+x_F的值；
（3）如图2，若M（2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在BM上取点G，使HG=HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否发生改变？若不变，请求其值，若改变，请说明理由．

Answer 1

（1）∵a²+b²-12a-12b+72=0，
∴（a-6）²+（b-6）²=0，
∴a=b=6，
∴A（6，0），B（0，6），
∴OA=6，且OC：OA=1：3，
∴OC=2，
∴C（-2，0）；
（2）如图2，过F、E分别向x轴引垂线，垂足分别为M、N，

∵当BD平分△BEF的面积，
∴D为EF中点，
∴DF=DE，
在△FMD和△END中

∠MDF=∠NDE

∠FMD=∠END

DF=DE

∴△FMD≌△END（AAS），
∴MD=ND，
即1-x_F=x_E-1，
∴x_E+x_F=2；
（3）不改变，理由如下：
如图3，连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，过M作MS⊥x轴于点S，

∵M（2，4），C（-2，0），A（6，0），
∴S（2，0），
∴MS垂直平分AC，
∴MC=MA，且MS=SC，
∴∠CMA=90°，
∴∠CMT+∠AMH=∠TCM+∠CMT=90°，
∴∠TCM=∠AMH，
在△CMT和△MAH中

∠TCM=∠AMH

∠CTM=∠AHM

MC=MA

∴△CMT≌△MAH（AAS），
∴TM=AH，CT=MH，
又AH=HG，
∴MT=GH，
∴GT=GM+MT=MG+GH=MH=CT，
∴△CGT是等腰直角三角形，
∴∠CGM=45°，
即当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数不改变．