请教catalan数网上对catalan数的通项有两种说法一种说catalan数满足递归式：h(n)=h(1)*h(n-1)+h(2)*h(n-2)+...+h(n-1)h(1)另一种说catalan数满足递归式：h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)h(0)有人说这

Question

请教catalan数
网上对catalan数的通项有两种说法
一种说catalan数满足递归式：h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ...+ h(n-1)h(1)
另一种说catalan数满足递归式：h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ...+ h(n-1)h(0)
有人说这两种递推式本质是一样的,这是为什么啊?
这两者的通项不是显然不同么?

Answer 1

首先要说明的是这是一个递归数列
令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,...)
也就是说数列的第一项和第二项为1,第n项是第一项*第n-1项+第二项*第n-2项+...+第n-1项*第1项
两种表达式中第一种的第一,二项是h(1)=h(2)=1
第二种的第一,二项是h(0)=h(1)=1
他们都似表示数列1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...