若定义在R上的函数f(x)对任意的X1,X2∈R,都有f(x1十x2)=f(x1)十f(X2)一1成立,且当x>0肘,f(x)>1(1)求证:f(x)一1为奇函数

Question

若定义在R上的函数f(x)对任意的X1,X2∈R,都有f(x1十x2)=f(x1)十f(X2)一1成立,且当x>0肘,f(x)>1
(1)求证 :f(x)一1为奇函数

Answer 1

解由f(x1十x2)=f(x1)十f(X2)一1
去x1=x2=0
即f（0+0）=f（0）+f（0）-1
即f（0）=1
故在f(x1十x2)=f(x1)十f(X2)一1
取x代替x1,-x代替x2
即f(x十（-x2）)=f(x)十f(-x)一1
即f(0)=f(x)十f(-x)一1
即f(x)十f(-x)一1=1
即f(x)十f(-x)=2.(*)
下面证明:f(x)一1为奇函数
设F(x)=f（x）-1
则F(-x)=f（-x）-1
由(1)得f(-x)=2-f(x)
则F(-x)=f（-x）-1=2-f（x）-1=1-f（x）=-（f（x）-1）=-F(x)
即F(-x)=-F(x)
故F（x）是奇函数
故:f(x)一1为奇函数.