直线一般方程2x+y-z+1=03x-y-2z-3=0怎么化为射影式方程与标准方程,并求该直线的方向余弦?

Question

直线一般方程2x+y-z+1=0 3x-y-2z-3=0 怎么化为射影式方程与标准方程,并求该直线的方向余弦?

Answer 1

首先化射影方程：
先分别判断x、y,或y、z,或z,x的系数二行列是否为零,我们以x、y的系数二行列为例,
2 1
3 -1
二行列值为2X(-1)-1X3=-5,不为0,(后面解释)
则把直线方程分别消去x、y,
5y+z+9=0,
5x-3z-2=0,
上面两方程即为该直线的射影方程；
空间三维直线标准方程格式为：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p,(系数为1)
其中,M(x0,y0,z0)是直线上的一个已知点,向量s(m,n,p)为直线方向向量,
整理射影方程：
(y+9/5)/(-1/5)=z=(z-0)/1,
(x-2/5)/(3/5)=z=(z-0)/1,
即(x-2/5)/(3/5)=(y+9/5)/(-1/5)=(z-0)/1,
其中,已知点M(2/5,-9/5,0)（可带回直线检验）,
方向向量s(3/5,-1/5,1)或(3,-1,5)(也可由直线方程检验)；
直线方向向量s(m,n,p)中的m,n,p称做该直线的方向数,直线方向向量s与三个坐标轴正轴的夹角α,β,γ为该直线的方向角,
则有m/cosα=n/cosβ=p/cosγ,
且cosα=m/√(m²+n²+p²),cosβ=n/√(m²+n²+p²),cosγ=p/√(m²+n²+p²),
本题m=3,n=-1,p=5,
即该直线方向余弦为cosα=3/√35,cosβ=-1/√35,cosγ=5/√35.
怎么由直线方程求方向向量s(m,n,p)：
用各项系数的三阶行列式计算,其中(i,j,k)为三位坐标系单位向量,即√(i²+j²+k²)=1,
i j k
a b c
d e f
=(bf-ce) X i - (af-cd) X j +(ae-bd) X k,
而m=bf-ce,n=-(af-cd),p=ae-bd,
即m,n,p为i,j,k前的系数(注意符号),用此方法即可验证方向向量.
解释二阶行列：
对于方程组：ax+by+e=0,
cx+dy+f=0,
解得x=(bf-de)/(ad-bc),y=(ce-af)/(ad-bc),
分母ad-bc即为二阶行列|a b,c d|,如果为0,那么原方程无解,只有不为0,才能分别消去x、y求解；对于本题一样,y、z或z、x的系数二行列均不为0,那么也可以分别消去y、z或z、x来求射影方程.
标准方程：
格式为：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p,其中作为分母的m、n、p皆不能为零,若m=0,而n,p≠0时,这时应理解为x-x0=0,(y-y0)/n=(z-z0)/p,它表示的是一条垂直于x轴的直线；若m=n=0,而p≠0,这时理解为x-x0=0,y-y0=0,即一条既垂直x轴又垂直y轴的直线,即垂直xoy平面；当x0=y0=0时,即代表z轴.