如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE=n．（1）求证：AE=GE；（2）当点F落在AC上

Question

如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设(AD)/(AE)=n．

（1）求证：AE=GE；
（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示(AD)/(AB)的值；
（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．

Answer 1

设AE=a，则AD=na，
（1）由对称知，AF=FE，
∴∠EAF=∠EFA，
∵GF⊥AF，
∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，
∴∠FGA=∠EFG，
∴EG=EF，
∴AE=EG；
（2）如图1，当点F落在AC上时，
由对称知，BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAC=90°，
∵∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠DAC，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE∽△DAC，
∴(AB)/(DA)=(AE)/(DC)，∵AB=DC，
∴AB²=AD•AE=na²，
∵AB>0，
∴AB=√(n)a，
∴(AD)/(AB)=(na)/(√(n)a)=√(n)；
（3）若AD=4AB，则AB=(n)/(4)a，
如图2，当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=a，此时(n)/(4)a=a，
∴n=4，
∴当点F落在矩形内部时，n>4，
∵点F落在矩形内部，点G在AD上，
∴∠FCG<∠BCD，
∴∠FCG<90°，
①当∠CFG=90°时，
如图3，则点F落在AC上，
由（2）得，(AD)/(AB)=√(n)，
∴n=16，
②当∠CGF=90°时，则∠CGD+∠AGF=90°，
∵∠FAG+∠AGF=90°，
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，
∵∠BAE=∠D=90°，
∴△ABE∽△DGC，
∴(AB)/(DG)=(AE)/(DC)，
∴AB•DC=DG•AE，
∵DG=AD-AE-EG=na-2a=（n-2）a，
∴（(n)/(4)a）²=（n-2）a•a，
∴n=8+4√(2)或n=8-4√(2)（舍），
∴当n=16或n=8+4√(2)时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．