问一道幂级数的问题幂级数在端点处本来是收敛的,1、在逐项求导后,幂级数在端点处的敛散性是怎么样的?2、在逐项积分后,幂级数在端点处的敛散性是怎么样的?

Question

问一道幂级数的问题
幂级数在端点处本来是收敛的,
1、在逐项求导后,幂级数在端点处的敛散性是怎么样的?
2、在逐项积分后,幂级数在端点处的敛散性是怎么样的?

Answer 1

1,不一定,比如 x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+x^5/5+.
在x=-1处是收敛的,但是
逐项求导后,1+x+x^2+x^3+.在x=-1处是发散的 .
2.逐项积分后在端点是收敛的.
因为
如果a0+a1x+a2x^2+...收敛的话,它的积分
为a0x+a1/2*x^2+a2/3*x^3+.+an/(n+1)*x^(n+1)+.
由于 a0x+a1x^2+a2x^3+.+an*x^(n+1)+.收敛
而1,1/2,1/3.,1/n,.单调趋近于0
所以根据阿贝尔判别法（一个收敛,一个单调有界）级数
a0x+a1/2*x^2+a2/3*x^3+.+an/(n+1)*x^(n+1)+.
收敛