将任意8个连续的正整数分为两组,使每组4个数的平方和相等吗?

Question

将任意8个连续的正整数分为两组,使每组4个数的平方和相等吗?

Answer 1

不能
因为设8个数中最小的为n,则最大的为n+7
所以这八个数的平方和为
{[(n+7)(n+8)(2n+15)]-[n(n+1)(2n+1)]}/6
则每组四个数的平方和应为
{[(n+7)(n+8)(2n+15)]-[n(n+1)(2n+1)]}/12
整理得7(n^2+8n+20)/2
因为当n为奇数时,7(n^2+8n+20)/2为分数,
但整数的平房和不可能为分数
所以命题不正确