分式方程例子及解

Question

分式方程例子及解

Answer 1

例1 化简
分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变”,而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式的基本性质.
二、 错在颠倒运算顺序
例2 计算
分析：乘除是同一级运算,除在前应先做除,上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误.
三、错在约分
例1 当 为何值时,分式 有意义?
[错解]原式 .
由 得 .
∴ 时,分式 有意义.
[解析]上述解法错在约分这一步,由于约去了分子、分母的公因式 ,扩大了未知数的取值范围,而导致错误.
[正解]由 得 且 .
∴当 且 ,分式 有意义.
四、错在以偏概全
例2 为何值时,分式 有意义?
[错解]当 ,得 .
∴当 ,原分式有意义.
[解析]上述解法中只考虑 的分母,没有注意整个分母 ,犯了以偏概全的错误.
[正解] ,得 ,
由 ,得 .
∴当 且 时,原分式有意义.
五、错在计算去分母
例3 计算 .
[错解]原式
= .
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算是等值代换,不能去分母,.
[正解]原式
.
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当 为何值时,分式 的值为零.
[错解]由 ,得 .
∴当 或 时,原分式的值为零.
[解析]当 时,分式的分母 ,分式无意义,谈不上有值存在,出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.
[正解]由由 ,得 .
由 ,得 且 .
∴当 时,原分式的值为零.
典例分析
类型一：分式及其基本性质
　　1．当x为任意实数时,下列分式一定有意义的是（ ）
　　A.　　　B.　　　C.　　　D.
2．若分式 的值等于零,则x＝_______；
　　3．求分式 的最简公分母.
　　【变式1】（1）已知分式 的值是零,那么x的值是（ ）
　　　　　　　A．－1　　　　　B．0　　　　　C．1　　　　　D．±1
　（2）当x________时,分式 没有意义．
　　【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
　A． 　　B． C． 　　　　　D．
类型二：分式的运算技巧
(一) 通分约分
　　4．化简分式:
　　【变式1】顺次相加法 计算：
【变式2】整体通分法 计算：
（二）裂项或拆项或分组运算
　　5．巧用裂项法
　　计算：
　　【变式1】分组通分法
　　计算：
　　【变式2】巧用拆项法计算：
类型三：条件分式求值的常用技巧
　　6．参数法 已知 ,求 的值．
【变式1】整体代入法 已知 ,求 的值.
【变式2】倒数法：在求代数式的值时,有时出现条件或所求分式不易变形,但当分式的分子、分母颠倒后,变形就非常的容易,这样的问题适合通常采用倒数法．
　　已知：,求 的值．
【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程,而所求的分式的分子与分母是齐次式时,通常我们把三元看作两元,即把其中一元看作已知数来表示其它两元,代入分式求出分式的值．
　　已知：,求 的值．
类型四:解分式方程的方法
　　解分式方程的基本思想是去分母,课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法,现再介绍几种灵活去分母的技巧．
（一）与异分母相关的分式方程
　　7．解方程 =
　　【变式1】换元法 解方程：
（二）与同分母相关的分式方程
　　8．解方程
【变式1】解方程 【变式2】解方程
类型五：分式（方程）的应用
　　9．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖,最近他俩同去买进了两次价格不同的糖,问两人中谁的平均价格低一些?
　　【变式1】 甲开汽车,乙骑自行车,从相距180千米的A地同时出发到B．若汽车的速度是自行车的速度的2倍,汽车比自行车早到2小时,那么汽车及自行车的速度各是多少?
【变式2】 A、B两地路程为150千米,甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,2小时后相遇,相遇后,各以原来的速度继续行驶,甲车到达B后,立即沿原路返回,返回时的速度是原来速度的2倍,结果甲、乙两车同时到达A地,求甲车原来的速度和乙车的速度．
【主要公式】1.同分母加减法则:
2.异分母加减法则:;
3.分式的乘法与除法:,
4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项
5.同底数幂的乘法与除法;am● an =am+n; am÷ an =am－n
6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= am bn ,(am)n= amn
7.负指数幂:a-p= a0=1
8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2