在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．（1）如图①，过点A在△ABC外作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．①判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系，并证明；②若AM=a，BM=b，AB=c，试利用图①验证勾股定理a2+b2

Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．
（1）如图①，过点A在△ABC外作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．
①判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系，并证明；
②若AM=a，BM=b，AB=c，试利用图①验证勾股定理a²+b²=c²；
（2）如图②，过点A在△ABC内作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系？（直接写出答案）

Answer 1

（1）①MN=BM+CN；
理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，
∴∠MAB=∠ACN，
在△MAB和△NCA中

∠BMA＝∠ANC

∠MAB＝∠NCA

AB＝AC

，
∴△MAB≌△NCA（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∴MN=AM+AN=BM+CN；
②由①知△MAB≌△NCA，
∴CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，
∴MN=a+b，
∵S_梯形MBCN=S_△MAB+S_△ABC+S_△NCA=(1)/(2)ab+(1)/(2)c²+(1)/(2)ab，
S_梯形MBCN=(1)/(2)（BM+CN）×MN=(1)/(2)（a+b）²，
∴(1)/(2)ab+(1)/(2)c²+(1)/(2)ab=(1)/(2)（a+b）²，
∴a²+b²=c²；

（2）MN=BM-CN；
理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，
∴∠MAB=∠ACN，
在△MAB和△NCA中

∠BMA＝∠ANC

∠MAB＝∠NCA

AB＝AC

，
∴△MAB≌△NCA（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∴MN=AN-AM=BM-CN．