（1）如图①，在△ABC中，AB=CD，∠BAD=∠BDA，AE是BD边的中线．探究AC与AE的数量关系并证明．（2）如图②，在△ABC中，AB=k•AD，∠BAD=∠BDA，AE是BD边的中线，且∠EAD=∠C．探究AC与AE的数量关系

Question

（1）如图①，在△ABC中，AB=CD，∠BAD=∠BDA，AE是BD边的中线．探究AC与AE的数量关系并证明．

（2）如图②，在△ABC中，AB=k•AD，∠BAD=∠BDA，AE是BD边的中线，且∠EAD=∠C．探究AC与AE的数量关系并证明．

Answer 1

（1）答：AC=2AE．
证明：在△ACD中，作AC边上的中线DF，
∵∠BAD=∠BDA，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AB=BD=CD，于是D为BC边上的中点，
∴DF为△ABC的中位线，DF=(1)/(2)AB=(1)/(2)BD，∠FDC=∠B，
∵AE是△ABD的中线，
∴ED=DF，
由于∠BDA+∠ADF+∠FDC=180°，
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∠FDC=∠B，∠BAD=∠BDA，
∴∠ADF=∠BDA，
在△ADF和△ADE中，

AD＝AD

∠ADE＝∠ADE

ED＝FD

，
∴△ADF≌△ADE，
∴AE=AF，
∴AC=2AE．
（2）∵∠EAD=∠C，∠AED=∠CEA，
∴△ACE∽△DAE，
∴(AC)/(AD)＝(AE)/(ED)，
即(AC)/(AE)＝(AD)/(ED)，
∴(AC)/(AE)＝(2AD)/(2ED)=(2AD)/(BD)=(2AD)/(AB)=(2AD)/(kAD)=(2)/(k)．