a＞b 是 ac^2≥bc^2 的充要条件~为什么、求解释

Question

a＞b 是 ac^2≥bc^2 的充要条件~为什么、求解释

Answer 1

分析：
如果已知a>b,可以推出ac^2≥bc^2,那前者是后者的充分条件；
如果已知ac^2≥bc^2,可以推出a>b,那前者是后者的必要条件.
如果以上两点同时满足,那a＞b 是 ac^2≥bc^2 的充要条件.
证明：
先证明充分条件：
a>b
a-b>0
c≠0时,c^2>0,a-b>0 c^2(a-b)>0 ac^2>bc^2
c=0时,c^2(a-b)=0 ac^2=bc^2
综上,a>b时,ac^2≥bc^2
再考察必要条件：
ac^2≥bc^2
c^2(a-b)≥0
c^2恒非负,要不等式成立,则a-b≥0
a≥b
由ac^2≥bc^2只能推出a≥b,不能得到a>b
因此这个命题是个假命题,a>b是ac^2≥bc^2的充分条件但不是必要条件,a=b时,不等式ac^2≥bc^2同样成立.因此a>b不是ac^2≥bc^2的充要条件.
如果说命题是“a≥b是ac^2≥bc^2的充要条件 ”则是正确的.