函数f（x）=cos3x+acos2x,cosx=1／4的时候有最小值,求a,和f（x）的值域

Question

函数f（x）=cos3x+acos2x,cosx=1／4的时候有最小值,求a,和f（x）的值域

Answer 1

cos2x=2(cosx)^2-1,
cos3x=cosxcos2x-sinxsin2x
=cosxcos2x-2cosx(sinx)^2
=cosx[2(cosx)^2-1]-2cosx[1-(cosx)^2]
=4(cosx)^3-3cosx,
设u=cosx,则u∈[-1,1],
f(x)=4u^3-3u+a(2u^2-1),记为g(u),
g'(u)=12u^2-3+4au,
cosx=1／4的时候f(x)有最小值,
∴g'(1/4)=-9/4+a=0,a=9/4.
g(u)=4u^3-3u+(9/4)(2u^2-1),
g'(u)=12u^2+9u-3=12(u+1)(u-1/4),
-1