已知函数f（x）=-1/3x^3+1/2ax^2+b.（1）讨论函数f（x）的单调区间 （2）对任意a∈【2 ,3】,函数f（x）在R上都有三个零点,求实数b的取值范围.

Question

已知函数f（x）=-1/3x^3+1/2ax^2+b.（1）讨论函数f（x）的单调区间 （2）对任意a∈【2 ,3】,函数f（x）在R上都有三个零点,求实数b的取值范围.

Answer 1

1）由f'(x)=-x²+ax=-x(x-a)=0得x=0, a
当a>0时,单调减区间为：x<0与x>a;单调增区间为(0,a);
当a=0时,函数在R上单调减；
当a<0时,单调减区间为:x0,单调增区间为(a,0)
2) 2=f(0)=b为极小值点；
f(a)=a³/6+b为极大值点；
要使f(x)在R上有3个零点,则极小值<0,极大值>0
得-a³/6因为-a³/6的取值在[-9/2, -4/3]
因此须有-4/3