“无数个0加起来等于1”是否成立?若成立请证明；若不成立请说明理由.（一个点没有长度,但无数个点合成一条线,就有了长度；一条线没有面积,但无数条线合成一个面,就有了面积；一个面

Question

“无数个0加起来等于1”是否成立?若成立请证明；若不成立请说明理由.（一个点没有长度,但无数个点合成一条线,就有了长度；一条线没有面积,但无数条线合成一个面,就有了面积；一个面没有体积,但无数个面合成一个体,就有了体积...）

Answer 1

无穷小量的相加和什么都没有的0的加和是完全两个概念.
可以说点的面积是无穷小量,虽然习惯上用0来表示无穷小量,但是这个0不是什么都没有,只不过比你能够给定的任意一个数都要小.无数个无穷小量相加起来就可以构建一个很大的东西了.你所谓的“点面积”是无穷小量,“无数”点的个数是无穷大量.无穷大乘以无穷小是未定式,可以转化为两个无穷小量的比（无穷大量的倒数是无穷小量）,再用L'Hospital法则等方法来运算.但由于下面需要讨论几何问题,没有确定的表达式,它们的阶无法直接说明,所以不用乘法.
严格论证“线没有 面的“面积”大”,需要用到集合论中的势(cardinal).这里可以用一一对应来简单说明（前提是你得承认任意两点所占空间相等,即它们是同阶无穷小量）.在平面内作两条平行线,则对于其中任意一条上的任意一点,在另一平行线中必然有相对应的点使这两点通过平行线的一条公垂线.这样这两条直线中的点一一对应.点、线所占的空间都可以用非零正数表示,那么两条直线所占空间的和大于其中任何一条直线所占的空间.把两条直线推广到n条,并使其充满整个平面（即n→∞）,同样可得这些线所占空间大于其中任一直线占的空间,就证明了这个问题.（其实应该先明白“点所占空间没有直线大”,这样才方便类比理解.）再推广——“面没有体积 但无数的面就组成了体 变有了体积 ”这个是概念问题,面无所谓体积,但可以把“面（在三维向量空间内）的体积”理解为无穷小量,但绝对不是零