已知(sin^2α/sin^2β)+cos^2αcos^2θ=1,求证tan^2α=sin^2θtan^2β

Question

已知(sin^2α/sin^2β)+cos^2αcos^2θ=1,求证tan^2α=sin^2θtan^2β

Answer 1

证明：
(sin²α/sin²β)＋cos²αcos²θ＝1
(sin²α/sin²β)＋cos²α(1－sin²θ)＝1
(sin²α/sin²β)＋cos²α－cos²αsin²θ＝1
cos²αsin²θ＝(sin²α/sin²β)＋cos²α－1
cos²αsin²θ＝(sin²α/sin²β)－(1－cos²α)
cos²αsin²θ＝(sin²α/sin²β)－sin²α
cos²αsin²θ＝sin²α[(1/sin²β)－1]
cos²αsin²θ＝sin²α[(1－sin²β)/sin²β]
cos²αsin²θ＝sin²α(cos²β/sin²β)
cos²αsin²θ＝sin²α•cot²β
两边同时除以cos²α,得：
sin²θ＝tan²α•cot²β
即：sin²θ＝tan²α/tan²β
即：tan²α＝sin²θ•tan²β