若等比数列的各项均为正数,前n项和为S,前n项积为P,前n项倒数和为T,求证:P^2=(S/T)^n

Question

若等比数列的各项均为正数,前n项和为S,前n项积为P,前n项倒数和为T,求证:P^2=(S/T)^n

Answer 1

设此等比数列的首项为a1,公比为q
若q=1,则S=na1,T=n/a1,P=a1^n,所以P^2=a1^(2n),(S/T)^n=a1^(2n)
所以左边等于右边
若q不等于1,则S=a1(q^n-1)/(q-1),T=[1-(1/q)^n]/a1(1-1/q)=(q^n-1)/a1[q^n-q^(n-1)],P=a1^n*q^[n(n-1)/2]
所以(S/T)^n=[a1^2*q^(n-1)]^n=a1^(2n)*q^[n(n-1)]
P^2=a1^(2n)*q^[n(n-1)]
所以左边等于右边.
证毕.