正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段

Question

正△ 的边长为4， 是 边上的高， 分别是 和 边的中点，现将△ 沿 翻折成直二面角 ．
（1）试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使 ？证明你的结论．

Answer 1

正△ 的边长为4， 是 边上的高， 分别是 和 边的中点，现将△ 沿 翻折成直二面角 ．
（1）试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使 ？证明你的结论．

法一：（I）如图：在△ ABC 中，


由 E 、 F 分别是 AC 、 BC 中点，
得 EF // AB ，
又 AB 平面 DEF ， EF 平面 DEF ． 
∴ AB ∥平面 DEF ． 
（II）∵ AD ⊥ CD ， BD ⊥ CD  
  ∴∠ ADB 是二面角 A — CD — B 的平面角
∴ AD ⊥ BD   ∴ AD ⊥平面 BCD
取 CD 的中点 M ，这时 EM ∥ AD   ∴ EM ⊥平面 BCD
过 M 作 MN ⊥ DF 于点 N ，连结 EN ，则 EN ⊥ DF
∴∠ MNE 是二面角 E — DF — C 的平面角，在Rt△ EMN 中， EM =1， MN =
∴tan∠ MNE = ，cos∠ MNE =  
（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE…
证明如下：在线段BC上取点P。使 ，过P作PQ⊥CD与点Q，
∴PQ⊥平面ACD     ∵ 在等边△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE…
法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0， ……4分
平面CDF的法向量为 设平面EDF的法向量为
则  即
所以二面角E—DF—C的余弦值为
（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为
设

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE   

略