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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2E为AB中点求二面角A-D1E-C的大小
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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2 E为AB中点 求二面角A-D1E-C的大小
▼优质解答
答案和解析
有两种方法,一种是通过普通的求角方式,一种是通过空间向量.通过空间向量的做法就是把各个点都用坐标表示出来,然后设一个向量就可以了,具体的你可以看书上的例题,很简单的.但我不推荐用这种方法去做,因为这种方法比较容易算错.
另一种方法就是通过找角来求.这道题就可以通过找二面角的补角来求.解法如下
连接CE并延长,取AA1中点G连接D1G并延长,交CE于F,可证,DAF在D、A、F 三点共线,并且A是线段DF的中点,取EF中点M连接GM、AM
连接DE,因为AB=2、BC=1、E是AB中点,所以AE=EB=BC=DA=1所以角DEA=角CEB=45°,所以DE垂直于CE,又因为DD1垂直于CE,DD1与DE相交于点D,所以CE垂直于平面DD1E,所以平面DD1E垂直于平面CD1F,做DM垂直于D1E,交D1E于P,所以DP垂直于平面CD1F.
因为,AG平行与DD1,AM平行与DE,且DD1与DE,GA与AM相交,所以,平面GAM 平行于平面D1DE,做AT垂直于GM交GM于T,平面GAM交平面D1FC于GM,平面GAM垂直于平面D1FC,所以AT垂直于平面D1FC
做AQ垂直于D1E交D1E于Q,连接TQ,则角AQT即为二面角A-D1E-C的补角.
通过求边便可求出AP=√30/6,AT=√3/3,所以sin角AQT=根号10/5,cos角AQT=根号5/5,所以二面角A-D1E-C的大小为π-acrcos√5/5.
以上只是简要过程,有一些具体细节我并未一一列出,如有未明之处,
另一种方法就是通过找角来求.这道题就可以通过找二面角的补角来求.解法如下
连接CE并延长,取AA1中点G连接D1G并延长,交CE于F,可证,DAF在D、A、F 三点共线,并且A是线段DF的中点,取EF中点M连接GM、AM
连接DE,因为AB=2、BC=1、E是AB中点,所以AE=EB=BC=DA=1所以角DEA=角CEB=45°,所以DE垂直于CE,又因为DD1垂直于CE,DD1与DE相交于点D,所以CE垂直于平面DD1E,所以平面DD1E垂直于平面CD1F,做DM垂直于D1E,交D1E于P,所以DP垂直于平面CD1F.
因为,AG平行与DD1,AM平行与DE,且DD1与DE,GA与AM相交,所以,平面GAM 平行于平面D1DE,做AT垂直于GM交GM于T,平面GAM交平面D1FC于GM,平面GAM垂直于平面D1FC,所以AT垂直于平面D1FC
做AQ垂直于D1E交D1E于Q,连接TQ,则角AQT即为二面角A-D1E-C的补角.
通过求边便可求出AP=√30/6,AT=√3/3,所以sin角AQT=根号10/5,cos角AQT=根号5/5,所以二面角A-D1E-C的大小为π-acrcos√5/5.
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