如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，二面角A-C1C-B的大小为π3，点D线段BC的中点．（1）若AB=AC，求证：平面BB1C1C⊥平面AB1D；（2）当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时，求直线A1D与平面AB1D所

Question

如图，已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，二面角A-C₁C-B的大小为(π)/(3)，点D线段BC的中点．

（1）若AB=AC，求证：平面BB₁C₁C⊥平面AB₁D；
（2）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，求直线A₁D与平面AB₁D所成角θ的正弦值．

Answer 1

（1）证明：由题意，∠ACB=(π)/(3)，AB=AC，
∴△ABC为正三角形，∴AD⊥BC，AD⊥CC₁，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵AD⊂平面AB₁D，
∴平面BB₁C₁C⊥平面AB₁D；
（2） 当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积最大时，体积最大，
∵4=AB²=AC2+BC2-2AC•BC•(1)/(2)≥AC•BC-AC•BC=AC•BC，
∴当AC=BC，三角形ABC为正三角形时面积取最大值，
设A₁到平面AB₁D的距离为d，则由等体积可得(1)/(3)S△AB1D•d=(1)/(3)•(1)/(2)•AD•DB1•d=(√(3))/(3)，
∴d=(2)/(√(5))，
∴sinθ=(d)/(A1D)=((2)/(√(5)))/(√(7))=(2√(35))/(35)．