如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若AB=BC=2EF=2，BD与平面BCF成30°的角，求二面角F-BD-C的正切值．

Question

如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若AB=BC=2EF=2，BD与平面BCF成30°的角，求二面角F-BD-C的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，CD⊂面CDEF，AB⊄面CDEF，
∴AB∥面CDEF．
又∵AB⊂面ABEF，面ABEF∩面CDEF=EF，
∴AB∥EF；
（Ⅱ）∵DE⊥面ABCD，∴DE⊥BC．
又∵BC⊥CD，∴BC⊥面CDEF．
又∵BC⊂面BCF，∴面BCF⊥面CDEF．
过点D作DG⊥CF，则DG⊥面BCF，∴∠DBG为BD与平面BCF所成角．即∠DBG=30°
又BD＝2√(2)，∴DG＝BD•sin30°＝√(2)，则DE=1且点G与点F重合．
取DC中点M，连接FM，则FM⊥面ABCD，
过M作MN⊥BD交BD于点N，连接FN，则∠FNM即为二面角F-BD-C的平面角，
∴tan∠FNM＝(FM)/(MN)＝(1)/((√(2))/(2))＝√(2)