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(2014•青山湖区模拟)已知平行四边形ABCD(如图1)中,AB=4,BC=5,对角线AC=3,将三角形△ACD沿AC折起至△PAC位置(图2),使二面角P-AC-B为60°,G,H分别是PA,PC的中点.(Ⅰ)求证:PC⊥平
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(Ⅰ)求证:PC⊥平面BGH;
(Ⅱ)求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:过C作CE∥AB,且CE=AB,连结BE,PE,
∵AC2+AB2=BC2,∴AC⊥AB,
∴四边形ABCD是矩形,AC⊥CE,
∵PC⊥AC,∴AC⊥平面PEC,
∴∠PCE=60°,
∵PC=CE=4,∴△PCB是正三角形,
∵BE∥AC,∴BE⊥平面PEC,
∴BE⊥PE,∴PB=
=5=BC,
而H是PC的中点,∴BH⊥PC,
∵G,H是△PAC的中位线,
∴GH∥AC,∴GH⊥PC,
∵GH∩BH=H,
∴PC⊥平面BGH.
(Ⅱ)以CE的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意知A(3,-2,0),B(3,2,0),P(0,0,2
),C(0,-2,0),
∴
=(3,−2,−2
),
=(3,2,-2
),
=(0,−2,−2
),
设平面PAB的法向量
∵AC2+AB2=BC2,∴AC⊥AB,
∴四边形ABCD是矩形,AC⊥CE,
∵PC⊥AC,∴AC⊥平面PEC,
∴∠PCE=60°,
∵PC=CE=4,∴△PCB是正三角形,
∵BE∥AC,∴BE⊥平面PEC,
∴BE⊥PE,∴PB=
PE2+BE2 |

而H是PC的中点,∴BH⊥PC,
∵G,H是△PAC的中位线,
∴GH∥AC,∴GH⊥PC,
∵GH∩BH=H,
∴PC⊥平面BGH.
(Ⅱ)以CE的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意知A(3,-2,0),B(3,2,0),P(0,0,2
3 |
∴
PA |
3 |
PB |
3 |
PC |
3 |
设平面PAB的法向量
作业帮用户
2017-11-14
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