（2014•青山湖区模拟）已知平行四边形ABCD（如图1）中，AB=4，BC=5，对角线AC=3，将三角形△ACD沿AC折起至△PAC位置（图2），使二面角P-AC-B为60°，G，H分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥平

Question

（2014•青山湖区模拟）已知平行四边形ABCD （如图1）中，AB=4，BC=5，对角线AC=3，将三角形△ACD沿AC折起至△PAC位置（图2），使二面角P-AC-B为60°，G，H分别是PA，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面BGH；
（Ⅱ）求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：过C作CE∥AB，且CE=AB，连结BE，PE，
∵AC²+AB²=BC²，∴AC⊥AB，
∴四边形ABCD是矩形，AC⊥CE，
∵PC⊥AC，∴AC⊥平面PEC，
∴∠PCE=60°，
∵PC=CE=4，∴△PCB是正三角形，
∵BE∥AC，∴BE⊥平面PEC，
∴BE⊥PE，∴PB=√(PE2+BE2)=5=BC，
而H是PC的中点，∴BH⊥PC，
∵G，H是△PAC的中位线，
∴GH∥AC，∴GH⊥PC，
∵GH∩BH=H，
∴PC⊥平面BGH．
（Ⅱ）以CE的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知A（3，-2，0），B（3，2，0），P（0，0，2√(3)），C（0，-2，0），
∴

PA

＝(3，−2，−2√(3))，

PB

=（3，2，-2√(3)），

PC

＝(0，−2，−2√(3))，
设平面PAB的法向量

作业帮用户 2017-11-14