如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE是等腰梯形，BC∥DE,=45,O是BC的中点，AO=,且BC=6，AD=AE=2CD=2，(1)证明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.

Question

如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE是等腰梯形，BC∥DE,  =45  ,O是BC的中点，AO=  ,且BC=6，AD=AE=2CD=2  ，

(1)证明：AO⊥平面BCD；(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）  

试题分析：（1）根据勾股定理证 ，即 ，再证 ，直线与平面垂直的判定定理即可得证明；

（2）过O点作 交CD的延长线于H，根据已知可证 二面角A-CD-B的平面角，然后通过解三角形即可求得.
试题解析：（1）易得OC=3，AD=2 ,连结OD，OE，在∆OCD中，
由余弦定理可得OD=  = .
∵AD=2 ,∴ ,∴ ,
同理可证： ,又∵ , 平面BCD , 平面BCD ,∴AO⊥平面BCD；
（2）方法一：过O点作 交CD的延长线于H，连结AH，因为AO⊥平面BCD,所以 ,故 为二面角A-CD-B的平面角.
因为OC=3，  =45 ，所以OH=  ,从而tan = .

方法二：以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示.则A(0，0，  ),C(0，-3，0),D(1，-2，0),
所以 =(0，3， ), =(-1，2， ).
设 为平面ACD的一个法向量，则  ,
即  解得  ，令x=1，得 .
由（1）知， 为平面CDB的一个法向量，所以cos<  >= = ,
由A-CD-B为锐二面角，所以二面角A-CD-B的平面角的正切值为  .