(2009•重庆)如图，在四棱锥S-ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，，，求：(Ⅰ)点A到平面BCS的距离；(Ⅱ)二面角E-CD-A的大小．

Question

(2009•重庆)如图，在四棱锥S-ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，，，求：
(Ⅰ)点A到平面BCS的距离；
(Ⅱ)二面角E-CD-A的大小．

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Answer 1

【分析】(Ⅰ)根据线面平行的判定定理可知AD∥平面BCS，从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离，从而DS为点A到平面BCS的距离，在RtΔADS中求出DS即可；
\n(Ⅱ)过E点作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，根据二面角平面角的定义可知∠EGH为二面角E-CD-A的平面角，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，在RtΔFEG中，求出此角即可．

(Ⅰ)因为AD∥BC，且BC⊂平面BCS，
\n所以AD∥平面BCS，
\n从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离．
\n因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，
\n故AD⊥平面CSD，从而AD⊥SD，
\n由AD∥BC，得BC⊥DS.
\n又由CS⊥DS，知DS⊥平面BCS，
\n从而DS为点A到平面BCS的距离，
\n因此在RtΔADS中，.
\n(Ⅱ)如图，过E点作EG⊥CD，交CD于点G，

\n又过G点作GH⊥CD，交AB于H，
\n故∠EGH为二面角E-CD-A的平面角，
\n记为θ，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，
\n因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，
\n易知GH⊥GF，故．
\n由于E为BS边中点，故，
\n在RtΔCFE中，，
\n因为EF⊥平面CSD，
\n又EG⊥CD
\n故由三垂线定理的逆定理得FG⊥CD，
\n从而可得ΔCGF～ΔCSD，
\n因此.
\n而在RtΔCSD中，，
，
\n在RtΔFEG中，，
\n可得，
\n故所求二面角的大小为.

【点评】本题主要考查了点到平面的距离，以及二面角的度量等有关知识，同时考查了计算能力、推理能力、以及转化与划归的思想，属于中档题．