如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上．（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）求CD与平面AOB所成角

Question

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=(π)/(6)，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上．

（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）求CD与平面AOB所成角的正弦的最大值．

Answer 1

（I）证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角；
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，
又CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB；
（II）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角；
在Rt△CDO中，CO=BO=ABsin(π)/(6)=4×(1)/(2)=2，
∴sin∠CDO=(CO)/(CD)=(2)/(CD)；
当CD最小时，sin∠CDO最大，
此时OD⊥AB，垂足为D，
由三角形的面积相等，得
(1)/(2)CD•AB=(1)/(2)BC•√(AB2-((BC)/(2))2)，
解得CD=(2√(2)•√(42-(√(2))2))/(4)=√(7)，
∴CD与平面AOB所成角的正弦的最大值为(2)/(√(7))=(2√(7))/(7)．