如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=22AB=2．（1）证明：DC⊥DE；（2）求三棱锥C-A1DE的体积．

Question

如图，直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=(√(2))/(2)AB=2．
（1）证明：DC⊥DE；
（2）求三棱锥C-A₁DE的体积．

Answer 1

证明：（1）由AC＝CB＝(√(2))/(2)AB，
AC²+CB²=AB²
故△ABC为等腰直角三角形
又由D是AB的中点，
知CD⊥AB，
又∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
∴CD⊥AA₁，
又∵AB，AA₁⊂面A₁ABB₁，AB∩AA₁=A
∴CD⊥面A₁ABB₁，
又∵DE⊂面A₁ABB₁，
故DC⊥DE；
（2）由（1）知CD⊥面A₁ABB₁，且CD=√(2)
在Rt△A₁AD中，AA₁=2，AD=√(2)，
故A₁D=√(6)
在Rt△BDE中，BE=1，BD=√(2)，
故DE=√(3)
Rt△A₁B₁E中，A₁B₁=2√(2)，B₁E=1
故A₁E=3
∵A1E2＝A1D2+DE2
故三角形△A₁DE为直角三角形
故