已知一正三棱锥的棱长都等于a.求该正棱锥的高以及侧面和底面的夹角正弦值

Question

已知一正三棱锥的棱长都等于a.求该正棱锥的高以及侧面和底面的夹角正弦值

Answer 1

因为正三棱锥的所有棱长都等于a,所以它是正四面体.每个面都是正三角形.
侧面的高= a*sin60°= a√3/2
由四面体的顶点作垂线交底面于等边三角形中心.侧面的高与垂线与底面上的线段形成直角三角形.因为底面是等边三角形,所求的底面的线段长度=(a/2)/√3
所以直角三角形中,
正四面体的高² = (a√3/2)² - (a / 2√3)² = 8a²/12
正四面体的高 = a√(2/3)
侧面和底面的夹角正弦值=正四面体的高/侧面的高
= (2√2)/3