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(2008•朝阳区二模)三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.(Ⅰ)求证:平面GFE∥平面PCB;(Ⅱ)求GB与平面ABC所成角的正切值;(Ⅲ)求二面角A-P
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(Ⅰ)求证:平面GFE∥平面PCB;
(Ⅱ)求GB与平面ABC所成角的正切值;
(Ⅲ)求二面角A-PB-C的大小.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:因为E、F、G分别是AB、AC、PA的中点,
EF∥BC,GF∥PC(1分)
且EF、GF⊄平面PCB,
所以EF∥平面PCB,GF∥平面PCB.
又EF∩GF=F,
所以平面GFE∥平面PCB.(4分)
(Ⅱ)
连接BF,因为GF∥PC,PC⊥平面ABC,
所以GF⊥平面ABC,BF为斜线BG在平面ABC上的射影,则∠GBF为所求.(6分)
GF=
PC=
,
在直角三角形BCF中,可求得BF=
.
在直角三角形GBF中tan∠GBF=
=
.
即BG与平面ABC所成角的正切值是
.(8分)
(Ⅲ)设PB的中点为H,连接HC,AH,
因为△PBC为等腰直角三角形,
所以HC⊥PB.
又AC⊥BC,AC⊥PC,且BC∩PC=C,
所以AC⊥平面PCB.
由三垂线定理得AH⊥PB.
所以∠AHC为二面角A-PB-C的平面角.(11分)
因为AC=2,HC=
,
所以tan∠AHC=
=2
.
所以∠AHC=arctan2
EF∥BC,GF∥PC(1分)
且EF、GF⊄平面PCB,
所以EF∥平面PCB,GF∥平面PCB.

又EF∩GF=F,
所以平面GFE∥平面PCB.(4分)
(Ⅱ)
连接BF,因为GF∥PC,PC⊥平面ABC,
所以GF⊥平面ABC,BF为斜线BG在平面ABC上的射影,则∠GBF为所求.(6分)
GF=
1 |
2 |
1 |
2 |
在直角三角形BCF中,可求得BF=
2 |
在直角三角形GBF中tan∠GBF=
GF |
BF |
| ||
4 |
即BG与平面ABC所成角的正切值是
| ||
4 |
(Ⅲ)设PB的中点为H,连接HC,AH,

所以HC⊥PB.
又AC⊥BC,AC⊥PC,且BC∩PC=C,
所以AC⊥平面PCB.
由三垂线定理得AH⊥PB.
所以∠AHC为二面角A-PB-C的平面角.(11分)
因为AC=2,HC=
| ||
2 |
所以tan∠AHC=
AC |
HC |
2 |
所以∠AHC=arctan2
作业帮用户
2017-10-25
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