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(2008•朝阳区二模)三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.(Ⅰ)求证:平面GFE∥平面PCB;(Ⅱ)求GB与平面ABC所成角的正切值;(Ⅲ)求二面角A-P

题目详情
(2008•朝阳区二模)三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.
(Ⅰ)求证:平面GFE∥平面PCB;
(Ⅱ)求GB与平面ABC所成角的正切值;
(Ⅲ)求二面角A-PB-C的大小.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:因为E、F、G分别是AB、AC、PA的中点,
EF∥BC,GF∥PC(1分)
且EF、GF⊄平面PCB,
所以EF∥平面PCB,GF∥平面PCB.
又EF∩GF=F,
所以平面GFE∥平面PCB.(4分)
(Ⅱ)
连接BF,因为GF∥PC,PC⊥平面ABC,
所以GF⊥平面ABC,BF为斜线BG在平面ABC上的射影,则∠GBF为所求.(6分)
GF=
1
2
PC=
1
2

在直角三角形BCF中,可求得BF=
2

在直角三角形GBF中tan∠GBF=
GF
BF
2
4

即BG与平面ABC所成角的正切值是
2
4
.(8分)

(Ⅲ)设PB的中点为H,连接HC,AH,
因为△PBC为等腰直角三角形,
所以HC⊥PB.
又AC⊥BC,AC⊥PC,且BC∩PC=C,
所以AC⊥平面PCB.
由三垂线定理得AH⊥PB.
所以∠AHC为二面角A-PB-C的平面角.(11分)
因为AC=2,HC=
2
2

所以tan∠AHC=
AC
HC
=2
2

所以∠AHC=arctan2
作业帮用户 2017-10-25
问题解析
(Ⅰ)欲证平面GFE∥平面PCB,即证线面平行,易证EF∥平面PCB,GF∥平面PCB,又EF∩GF=F,根据面面平行的判定定理即可证得;
(Ⅱ)连接BF,找出GB与平面ABC所成角为∠GBF,在直角三角形GBF中求出此角即可;
(Ⅲ)设PB的中点为H,连接HC,AH,先证∠AHC为二面角A-PB-C的平面角,再在三角形AHC中求出此角.
名师点评
本题考点:
平面与平面之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系.
考点点评:
本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
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