（2008•朝阳区二模）三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．（Ⅰ）求证：平面GFE∥平面PCB；（Ⅱ）求GB与平面ABC所成角的正切值；（Ⅲ）求二面角A-P

Question

（2008•朝阳区二模）三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
（Ⅰ）求证：平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求GB与平面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、PA的中点，
EF∥BC，GF∥PC（1分）
且EF、GF⊄平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．
又EF∩GF=F，
所以平面GFE∥平面PCB．（4分）
（Ⅱ）
连接BF，因为GF∥PC，PC⊥平面ABC，
所以GF⊥平面ABC，BF为斜线BG在平面ABC上的射影，则∠GBF为所求．（6分）
GF=(1)/(2)PC=(1)/(2)，
在直角三角形BCF中，可求得BF=√(2)．
在直角三角形GBF中tan∠GBF＝(GF)/(BF)＝(√(2))/(4)．
即BG与平面ABC所成角的正切值是(√(2))/(4)．（8分）

（Ⅲ）设PB的中点为H，连接HC，AH，
因为△PBC为等腰直角三角形，
所以HC⊥PB．
又AC⊥BC，AC⊥PC，且BC∩PC=C，
所以AC⊥平面PCB．
由三垂线定理得AH⊥PB．
所以∠AHC为二面角A-PB-C的平面角．（11分）
因为AC=2，HC=(√(2))/(2)，
所以tan∠AHC=(AC)/(HC)=2√(2)．
所以∠AHC=arctan2√(作业帮用户2017-10-25问题解析（Ⅰ）欲证平面GFE∥平面PCB，即证线面平行，易证EF∥平面PCB，GF∥平面PCB，又EF∩GF=F，根据面面平行的判定定理即可证得；（Ⅱ）连接BF，找出GB与平面ABC所成角为∠GBF，在直角三角形GBF中求出此角即可；（Ⅲ）设PB的中点为H，连接HC，AH，先证∠AHC为二面角A-PB-C的平面角，再在三角形AHC中求出此角．名师点评本题考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．考点点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)