如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E是PD的中点，（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值。

Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= a，点E是PD的中点，
（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，由PA 2 +AB 2 =2a 2 =PB 2 ，知PA⊥AB， 同理，PA⊥AD， 所以PA⊥平面ABCD； 因为 ， 所以 共面， 又PB 平面EAC， 所以PB∥平面EAC。
（Ⅱ）作EG∥PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD， 作GH⊥AC于H，连结EH， 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角， 又E是PD的中点，从而G是AD的中点， ， 所以 。