已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），当a，b∈（-∞，0）时总有f(a)−f(b)a−b＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．

Question

已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），当a，b∈（-∞，0）时总有(f(a)−f(b))/(a−b)＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是______．

Answer 1

∵定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数，且f（-x）=f（x）=f（|x|）．
∵当a，b∈（-∞，0）时总有(f(a)−f(b))/(a−b)＞0（a≠b），
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵f（m+1）＞f（2m），
∴f（|m+1|）＞f（|2m|），
∴0＜|m+1|＜|2m|，
∴4m²＞（m+1）²＞0，
∴

(m−1)(3m+1)＞0

m≠−1

，
∴m＜-1或−1＜m＜−(1)/(3)或m＞1．
∴实数m的取值范围是(−∞，−1)∪(−1，−(1)/(3))∪(1，+∞)．
故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−(1)/(3))∪(1，+∞)．