已知球的直径为20，当它的内接正四棱锥体积最大时，该四棱锥的高为．

Question

已知球的直径为20，当它的内接正四棱锥体积最大时，该四棱锥的高为___．

Answer 1

设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x
则：x²+（(√(2))/(2)a）²=100
而正四棱锥的高为h=10+x
故正四棱锥体积为：
V（x）=(1)/(3)a²h=(1)/(3)（200-2x²）（10+x）=(2)/(3)（100-x²）（10+x）=(1)/(3)（20-2x）（10+x）（10+x）
≤(1)/(3)×（(20-2x+10+x+10+x)/(3)）³=(64000)/(81)
当且仅当x=(10)/(3)时，等号成立
那么正四棱锥的高为h=(40)/(3)．
故答案为：(40)/(3)．