用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台．如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．（

Question

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，侧棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求证：B₁B∥平面D₁AC；
（II）求平面B₁AD₁与平面CAD₁夹角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：以D为原点，以DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）．…（3分）
设AC∩BD=E，连接D₁E，则有E（1，1，0），

D1E

＝

B1B

=（1，1，-2），所以B₁B∥D₁E，
∵B₁B⊄平面D₁AC，D₁E⊂平面D₁AC
∴B₁B∥平面D₁AC；…（6分）
（II）

D1B1

＝(1，1，0)，

D1A

＝(2，0，−2)
设

n

＝(x，y，z)为平面B₁AD₁的法向量，则

n

•

B1D1

＝0

n

•

D1A

＝0

，即

x+y＝0

2x−2z＝0

，
于是可取

n

＝(1，−1，1)…（8分）
同理可以求得平面D₁AC的一个法向量

m

＝(1，1，1)，…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=(m•n)/(|m||n|)=(1)/(3)
∴平面B₁AD₁与平面CAD₁夹角的余弦值为(1)/(3)．…（12分）