若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1内接于半径为R的半球，上底面顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，下底面ABCD在半球的底面上，则该正四棱柱体积的最大值为439R3439R3．

Question

若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于半径为R的半球，上底面顶点A₁、B₁、C₁、D₁在半球球面上，下底面ABCD在半球的底面上，则该正四棱柱体积的最大值为

(4√(3))/(9)R3

(4√(3))/(9)R3

．

Answer 1

如图在图形中令球心为O，底面边长为a，连接OA₁，OA，令OA₁与底面的夹角为α，由图OA₁=R，则棱柱的高是Rsinα，底面正方形的对角线长的一半是Rcosα
即√(2)a=2Rcosα，由此得底面边长是√(2)Rcosα
故正四棱柱的体积是V=2R²cos²α×Rsinα=2R³cos²αsinα
V'=2R³（-2cosαsin²α+cos³α）=2R³cosα（-2+3cos²α）
令V'=0，可以解得cosα=0，舍，或cos²α=(2)/(3)，即sin²α=(1)/(3)，sinα=(√(3))/(3)
由此知正四棱柱体积的最大值为V=2R³×(2)/(3)×(√(3))/(3)=(4√(3))/(9)R3
故答案为：(4√(3))/(9)R3