已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是上底面对角线A1C1、B1D1的交点，体对角线A1C交截面AB1D1于点P，求证：O1、P、A三点在同一条直线上．

Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O₁是上底面对角线A₁C₁、B₁D₁的交点，体对角线A₁C交截面AB₁D₁于点P，求证：O₁、P、A三点在同一条直线上．

Answer 1

证明：如图所示，
∵A₁C₁∩B₁D₁=O₁，∴O₁∈A₁C₁，O₁∈B₁D₁．
又∵A₁C₁⊂平面A₁C，B₁D₁⊂平面AB₁D₁，∴O₁∈平面A₁C，O₁∈平面AB₁D₁．
又∵A₁C∩平面AB₁D₁=P，∴P∈A₁C，P∈平面AB₁D₁．∴P∈平面A₁C．
又∵A∈平面A₁C，A∈平面AB₁D₁，
∴O₁、P、A三点都是平面AB₁D₁与平面A₁C的公共点，
∴O₁、P、A三点在同一条直线上．