在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．（Ⅰ）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；（Ⅱ）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1

Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC．
（Ⅰ）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC₁；
（Ⅱ）过侧面BB₁C₁C的对角线BC₁的平面交侧棱于M，若AM=MA₁，求证：截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C；
（Ⅲ） AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要条件吗？请你叙述判断理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AD⊥侧面BB₁C₁C．∴AD⊥CC₁．

（Ⅱ）延长B₁A₁与BM交于N，连接C₁N．
∵AM=MA₁，∴NA₁=A₁B₁．∵A₁B₁=A₁C₁，
∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁．∴C₁N⊥C₁B₁．
∵截面NB₁C₁⊥侧面BB₁C₁C，∴C₁N⊥侧面BB₁C₁C．
∴截面C₁NB⊥侧面BB₁C₁C．∴截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C．

（Ⅲ）结论是肯定的，充分性已由（2）证明，
下面证必要性：过M作ME⊥BC₁于E，∵截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C，
∴ME⊥侧面BB₁C₁C．    又∵AD⊥侧面BB₁C₁C，
∴ME∥AD．
∴M，E，A，D共面．
∵AM∥侧面BB₁C₁C，∴AM∥DE．
∵CC₁∥AM，∴DE∥CC₁．
∵D是BC的中点，
∴E是BC₁的中点．
∴AM=DE=(1)/(2)CC₁=(1)/(2)AA₁．
∴AM=MA₁．