三角形ABC中,已知：AB=2,BC=1,CA=√3,分别在边AB,BC,CA上取点DEF,使三角形DEF是等边三角形,设∠FEC=α,问sinα为何值时,三角形DEF边长最短.并求出最短边的长

Question

三角形ABC中,已知：AB=2,BC=1,CA=√3,分别在边AB,BC,CA上取点DEF,使三角形DEF是等边三角形,设∠FEC=α,问sinα为何值时,三角形DEF边长最短.并求出最短边的长

Answer 1

过点D作DG平行于BC
∵AB=2 BC=1 CA=√3
∴△ABC是Rt三角形,∠C=90°
∴DG⊥AC
设正三角形△DEF的边长为 x
∴∠DFE=60°,DE=DF= x
∵∠CFE=α,∠CFE+∠DFE+∠AFD=180°
∴∠AFD=120-α
在Rt△CEF中,sinα=2 √ 7/7
∴cosα=√ 21/7=CF/EF
∴CF=√ 21x/7
在Rt△DFG中,
sin(120°-α）=GD/DF
sin(120°-α）=sin120cosα-cos120sinα
=5√7/14
cosα=√21/14=GF/DF
∴GF=√21x/14,GD=5√7x/14
∵∠A=30°
∴AG=5√21x/14
∵AG+GF+CF=AC=√3
∴5√21x/14+√21x/14+√ 21x/7=√3
∴x=√7/4
∴边长为√7/4