cos23°+cos95°+cos167°+cos239°+cos311°如何计算和这种题的简单方法要在纸上做的不借用计算机明天早上再说,你先慢慢打

Question

cos23°+cos95°+cos167°+cos239°+cos311°
如何计算和这种题的简单方法
要在纸上做的不借用计算机
明天早上再说,你先慢慢打

Answer 1

=0
这道题有特殊解法
数形结合,用向量
cosθ可以理解为单位向量e（e与x轴夹角为θ）在x轴上得投影,即ex
观察发现,23,95,167,239,311这几个数为等差数列,我们可以抽象为θ,θ+72,θ+72×2,θ+72×3,θ+72×3,θ+72×4,而且72×5=360
设单位向量e1,e2,e3,e4,e5分别与x轴夹角为,23°,95°,167°,239°,311°
可画出图,平移后可知向量首尾相接,所以e1+e2+e3+e4+e5=0（零向量）
e1+e2+e3+e4+e5 在x轴投影=0
（e1+e2+e3+e4+e5 ）在x轴投影
=e1在x轴投影+e2在x轴投影+...+e5在x轴投影
=cos23°+cos95°+cos167°+cos239°+cos311°
=0 
还能推出一般结论
cosθ°+cos（θ+72°）+cos（θ+72×2°）+cos（θ+72×3°）+cos（θ+72×4°）=0
cosθ+cos（θ+120）+cos（θ-120）=0
等等