已知矩形ABCD内接于圆柱下底面的圆O，PA是圆柱的母线，若AB=6，AD=8，异面直线PB与CD所成的角为arctan2，求此圆柱的体积．

Question

已知矩形ABCD内接于圆柱下底面的圆O，PA是圆柱的母线，若AB=6，AD=8，异面直线PB与CD所成的角为arctan2，求此圆柱的体积．

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Answer 1

【分析】根据底面圆的内接矩形的长和宽求出圆的半径，再由母线垂直于底面和“异面直线PB与CD所成的角为arctan2”求出母线长，代入圆柱的体积公式求出值．

设圆柱下底面圆O的半径为r，连AC，如图，

\n由矩形ABCD内接于圆O，可知AC是圆O的直径，
\n∴，得r=5，
\n由AB∥CD，可知∠PBA就是异面直线PB与CD所成的角，即∠PBA=arctan2，
\n∴tan∠PBA=2．
\n在Rt△PAB中，PA=ABtan∠PBA=12，
\n∴圆柱的体积V=πr²•PA=π×5²×12=300π．

【点评】本题考查了圆柱的体积求法，主要根据圆内接矩形的性质、母线垂直于底面圆求出它的底面圆半径和母线，即关键求出半径和母线长即可．