一道高中数学数列题已知数列{an}的各项都是正数,且满足a0=1,an+1(n+1是a的角标）=1/2an(4-an)1.证明an

Question

一道高中数学数列题
已知数列{an}的各项都是正数,且满足a0=1,an+1(n+1是a的角标）=1/2an(4-an)
1.证明an

Answer 1

因为第一问要用an和2做比较,所以等号两边同时减2,配方后即有
a(n+1)-2=-(an-2)^2/2,即
2-a(n+1)=(2-an)^2/2=(2-a(n-1))^4/4=…=(2-a0)^(2^(n+1))/(2^(n+1))=(1/2)^(n+1)
所以先求得an的通项公式为an=2-(1/2)^n
再证明第一问就非常容易了,因为a(n+1)-an=(1/2)^(n+1)>0,所以a(n+1)>an
又因为a(n+1)=2-(1/2)^(n+1)<2,所以a(n+1)<2.