如图，在多面体ABCD-EF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（Ⅰ）求证：EH∥平面FAC；（Ⅱ）求证：EH⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角A-FC-B的大小．

Question

如图，在多面体ABCD-EF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EH∥平面FAC；
（Ⅱ）求证：EH⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角A-FC-B的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：AC∩BD=O，连接HO，FO
因为ABCD为正方形，所以O是AC中点，
又H是AD中点，
所以OH∥CD ， OH＝(1)/(2)CD，EF∥AB ， EF＝(1)/(2)AB，
所以EF∥OH且EF=OH，
所以四边形EHOF为平行四边形，
所以EH∥FO，
又因为FO⊂平面FAC，EH⊄平面FAC．
所以EH∥平面FAC．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为AE=ED，H是AD的中点，所以EH⊥AD…（6分）
又因为AB∥EF，EF⊥EA，所以AB⊥EA
又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面AED，
因为EH⊂平面AED，所以AB⊥EH，…（8分）
所以EH⊥平面ABCD．…（9分）
（Ⅲ）AC，BD，OF两两垂直，建立如图所示的坐标系，设EF=1，则AB=2，B(0，√(2)，0)，C(−√(2)，0，0)，F（0，0，1）…（10分）
设平面BCF的法向量为

n1

＝(x，y，z)，

BC

＝(−√(2)，−√(2)，0)，  

CF

＝(√(2)，0，1)，

n1

•

BC

＝0，

 n1

•

CF

＝0
所以 

n1

＝(−1，1，√(2))…（11分）
平面AFC的法向量为

n2

＝(0，1，0)…（12分）cos＜

n1

，

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)＝(1)/(2)．                       …（13分）
二面角A-FC-B为锐角，所以二面角A-FC-B等于(π)/(3)．…（14分）