如图，在多面体ABCDE中，CD和BE都垂直于平面ABC，且∠ACB=90°，AB=4，BE=1，CD=3，DE=22．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACD；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Question

如图，在多面体ABCDE中，CD和BE都垂直于平面ABC，且∠ACB=90°，AB=4，BE=1，CD=3，DE=2√(2)．

（Ⅰ）求证：BE∥平面ACD；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为CD和BE都垂直于平面ABC，所以BE∥CD，
又CD⊂平面ACD，BE⊄平面ACD，
所以BE∥平面ACD． …（5分）
（Ⅱ） 因为CD和BE都垂直于平面ABC，所以BE∥CD，
则四边形BCDE是直角梯形，…（6分）
在平面BCDE内过点E作EF∥BC，交CD于点F，
因为BE=1，CD=3，DE=2√(2)，…（7分）
在直角三角形DEF中，EF=2，
所以BC=EF=2，…（8分）
在直角三角形ABC中，AC=√(AB2-BC2)=2√(3)，…（9分）
因为AC⊥BC，AC⊥DC，所以AC⊥平面DCBE，
而四边形BCDE的面积S=(1)/(2)（BE+CD）•BC=4，…（10分）
因此多面体ABCDE的体积为V=(1)/(3)S•AC=(8)/(3)√(3)．  …（12分）