在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．（1）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（2）是否存在过A1C的平面α，使得直线BC1∥α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请

Question

在如图所示的多面体中，四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都为矩形．
（1）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）是否存在过A₁C的平面α，使得直线BC₁∥α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都是矩形，
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
∵AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，
∴AA₁⊥平面ABC；
∵直线BC⊂平面ABC，
∴AA₁⊥BC
又由已知，AC⊥BC，AA₁，AC为平面ACC₁A₁内的两条相交直线，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）存在，证明如下：
连接A₁C，AC₁，设A₁C∩AC₁=D，取线段AB的中点M，连接A₁M，MC．
则平面A₁CM为为所求的平面α．
由作图可知M，D分别为AB、AC₁的中点，
∴MD

∥

.

.

(1)/(2)BC1，
又∵MD⊂α，BC₁⊄α
∴MD∥α．