设f(z)=x^2+i*y^2,则f'(1+i)= 结果是2请问是怎么做的?另一个问题在复数范围内,方程Z^3+|Z|=0根的个数?设f(z)=x^2+i*y^2,则f'(1+i)= 结果是2请问是怎么做的?另一个问题在复数范围内,方程Z^3+|Z|=0根的个数?

Question

设f(z)=x^2+i*y^2,则f'(1+i)= 结果是2请问是怎么做的?另一个问题在复数范围内,方程Z^3+|Z|=0根的个数?
设f(z)=x^2+i*y^2,则f'(1+i)= 结果是2请问是怎么做的?
另一个问题在复数范围内,方程Z^3+|Z|=0根的个数?
第二题答案是4个根，我很纠结

Answer 1

(1)
将z=x+iy看作二元函数
f'(z)
=df/dz
=(df/dx+df/dy)/(dz/dx+dz/dy)
=(2x+2iy)/(1+i)
代入得f'(1+i)=2
(2)
令Z=x+iy,x与y为实数,则Z^3=(x+iy)^3=x^3+3iyx^2-3xy^2-iy^3,|Z|=x^2+y^2
原方程化为
(1) x^3-3xy^2+x^2+y^2=0
(2) 3yx^2-y^3=0
当y=0时,代入(1)有x^3+x^2=x^2(x+1)=0,解得x=0或x=-1,对应两个解Z=0和Z=-1
当y≠0时,代入(2)有3x^2=y^2,即x=(√3/3)y,代入(1)有(-8√3/9)y^3+(4/3)y^2=(4/3-8√3/9*y)y^2=0,解得y=0(丢弃)和y=9√3/32,对应解Z=9/32+(9√3/32)i
共三个解
失误了……第二题的(2)应该是x=±(√3/3)y
将x=-(√3/3)y代入(1)有(8√3/9)y^3+(4/3)y^2=(4/3+8√3/9*y)y^2=0,解得y=0(丢弃)和y=-9√3/32,对应解Z=9/32-(9√3/32)i
0、-1、9/32±(9√3/32)i