已知在△ABC中，D为边AC上一点，AB=AD=4，AC=6，若△ABC的外心恰在线段BD上，则BC=．

Question

已知在△ABC中，D为边AC上一点，AB=AD=4，AC=6，若△ABC的外心恰在线段BD上，则BC=___．

Answer 1

∵外心为三角形三边垂直平分线的交点，△ABC的外心恰在线段BD上，
∴作线段AC的垂直平分线，交BD于点O，即为△ABC外心，
∴OA=OB=OC，
取AB的中点E，连接OE，则有OE⊥AB，可得∠BEO=∠OFD=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△BEO∽△DFO，
∵AC=6，
∴AF=3，
∴DF=AD-AF=1，
∵BE=2，
∴(BO)/(DO)=(BE)/(DF)=2，
设OD=a，则有OB=OA=2a，OF²=OD²-FD²=a²-1，
由AO²=AF²+OF²，得到4a²=9+a²-1，即a²=(8)/(3)，
由余弦定理得：cosA=(AB2+AD2-BD2)/(2AB•AD)=(16+16-9a2)/(2×16)=(32-9×(8)/(3))/(2×16)=(1)/(4)，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA=16+36-2×4×6×(1)/(4)=40，
则BC=2√(10)．
故答案为：2√(10)