已知f(x)是定义在R上不恒为0的函数,对于任意x属于R,y属于R都有f(x+y)＝f(x)+f(y),求f(0)的值

Question

已知f(x)是定义在R上不恒为0的函数,对于任意x属于R,y属于R都有f(x+y)＝f(x)+f(y),求f(0)的值

Answer 1

用赋值法带就行了 （1）令x=y=1可得f（1 1）=f（1） f（1）—1①
令x=1y=2可得f（1 2）=f（1） f（2）—1②
已知f(3)=4③ 联立上式得f（1）=2 令x=1y=3得f（1 3）=f（1） f(3)—1=5 （2）令y=1带入已知的抽象函数f（x 1）=f（x） f（1）—1移项得f（x 1）—f（x）=1 所以函数f（x）为增函数 （3）由（2）知函数f（x）为增函数,所以有ax-1﹤f（4）x 由题意知不等式（a-5）x-1﹤0的解集为x﹤3（因为不等式解集的最大整数为2所以它的解集就是x﹤3,这里你要想明白） 所以问题可以转化为对任意的x﹤3都有（a-5）x-1﹤0成立
令函数 f（x）=（a-5）x-1 要满足任意的x﹤3都有f（x）﹤0 ①当a≠0时,只要函数为增函数且f（3）﹤0就行 有a-5﹥0且 f（3）﹤0推出 5﹤a﹤三分之十六 ②当a=5时,f（x）=－1,显然f（x）﹤0的解集不是x﹤3,不合题意. 综上a的取值范围为5﹤a﹤三分之十六