已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点A，B椭圆C上任意两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点），（ⅰ）试判断点O到直线AB

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(2)，短轴端点到焦点的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A，B椭圆C上任意两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点），
（ⅰ）试判断点O到直线AB的距离是否为定值；若是，求出该值；若不是，请说明理由？
（ⅱ）点P是以椭圆C的长轴为直径的圆上任意一点，求△PAB的面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(2)，
短轴端点到焦点的距离为2，
∴

(c)/(a)＝(√(3))/(2)

a＝2

，解得a=2，c=√(3)，
∴b²=a²-c²=4-3=1，
∴椭圆C的方程为(x2)/(4)+y2＝1．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±(2√(5))/(5)，
原点O到直线AB的距离为(2√(5))/(5)．…（5分）
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由

(x2)/(4)+y2＝1

y＝kx+m

，得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=16（1+4k²-m²）＞0，
x1+x2＝−(8km)/(1+4k2)，x1x2＝(4m2−4)/(1+4k2)，…（7分）
由

OA

•

OB

＝x1x2+y1y2＝(5m2−4−4k2)/(1+4k2)＝0，
得m2＝(4)/(5)(1+k2)，…（8分）
∴原点O到直线AB的距离d=(|m|)/(√(k2+1))=(√((4)/(5)(1+k2)))/(√(1+k2))=(2√(5))/(5)．
综上所述，原点O到直线AB的距离为(2√(5))/(5)．…（9分）
（ⅱ）当直线AB的斜率不存在时|AB|＝(4√(5))/(5)
当直线AB的斜率存在时，
|AB|＝√((1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2)＝(4)/(√(5))√(1+(9k2)/(16k4+8k2+1))…（11分）
当k≠0时，|AB|＝(4)/(√(5))√(1+(9)/(16k2+(1)/(k2)+8))≤√(5)，当k＝±(1)/(2)时等号成立．
当k=0时，|AB|＝(4√(5))/(5)．
∴|AB|最大值为√(5)．…（13分）
由（ⅰ）知：点P到直线AB的距离最大值为(2√(5))/(5)+2，…（14分）
∴S_△PAB的最大值为1+√(5)．…（15分）