在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（）A.12B.23C.33D.22

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为BB₁的中点，则平面A₁ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（　　）
A. (1)/(2)
B. (2)/(3)
C. (√(3))/(3)
D. (√(2))/(2)

Answer 1

以A为原点建系，设棱长为1．
则A₁（0，0，1），E（1，0，(1)/(2)），
D（0，1，0），
∴

A1D

=（0，1，-1），

A1E

=（1，0，-(1)/(2)），
设平面A₁ED的法向量为
n₁=（1，y，z）
则

y−z＝0

1−(1)/(2)z＝0

∴

y＝2

z＝2

∴n₁=（1，2，2），
∵平面ABCD的一个法向量为n₂=（0，0，1）．
∴cos＜n₁，n₂＞=(2)/(3×1)=(2)/(3)．
即所成的锐二面角的余弦值为(2)/(3)．
故选B