已知数列｛An｝满足An+1=1/16（1+4An+√（1+24An））,A1=1,用换元法法求数列｛An｝的通项公式注意：A旁边的n和n+1是下标

Question

已知数列｛An｝满足An+1=1/16（1+4An+√（1+24An））,A1=1,用换元法法求数列｛An｝的通项公式
注意：A旁边的n和n+1是下标

Answer 1

设an=√（1+24An）则An=(an^2-1)/24
故A(n+1)=[a(n+1)^2-1]/24
由An+1=1/16（1+4An+√（1+24An））,
得16* [a(n+1)^2-1]/24=1+（an^2-1)/6+an
化简得2a(n+1)=an+3
变形得a(n+1)-3=1/2(an-3)
故{an-3}是首项为a1-3=2公比为1/2的等比数列
则an-3=1/2^(n-2)
故an=3+1/2^(n-2)
则An=……（自己代入即可）