已知幂函数f（x）=x-12p2+p+32（p∈Z）在（0，+∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数．（1）求p的值，并写出相应的函数f（x）．（2）对于（1）中的f（x），是否存在正实数m，使得g（x）=-

Question

已知幂函数f（x）=x-(1)/(2)p2+p+(3)/(2)（p∈Z）在（0，+∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数．
（1）求p的值，并写出相应的函数f（x）．
（2）对于（1）中的f（x），是否存在正实数m，使得g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1在区间[-1，1]上的值域是[-1，(5)/(4)]，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）因为幂函数f（x）=x-(1)/(2)p2+p+(3)/(2)在（0，+∞）上是增函数，
所以-(1)/(2)p²+p+(3)/(2)＞0，解得-1＜p＜3．（2分）
∵P是整数，∴P的值为0，1，2，
又幂函数在其定义域内是偶函数，所以p=1．（4分）
∴函数f（x）=x²．（6分）
（2）存在正实数m，使得g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1在区间[-1，1]上的值域是[-1，(5)/(4)]．
∵f（x）=x²，
∴g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1=-x²+（2m-1）x+1，
∴g（-1）=-1-2m+1+1=1-2m，
g（1）=-1+2m-1=2m-1，
∵g（x）在区间[-1，1]上的值域是[-1，(5)/(4)]，
∴1-2m=-1，或2m-1=-1．
当1-2m=-1时，m=1，g（x）=-x²+x+1=-（x-(1)/(2)）²+(5)/(4)≤(5)/(4)，
∴m=1时，g（x）在区间[-1，1]上的值域是[-1，(5)/(4)]，成立；
当2m-1=-1时，m=0，g（x）=-x²-x+1=-（x+(1)/(2)）²+(5)/(4)≤(5)/(4)，
∴m=0时，g（x）在区间[-1，1]上的值域是[-1，(5)/(4)]，成立；
综上所述，存在是存在正实数m=1，
使得g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1在区间[-1，1]上的值域是[-1，(5)/(4)]．（12分）